Ряды Фурье по системам функций, ортогональным в смысле Соболева, и их аппроксимативные свойства

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 24-21-00143

НазваниеРяды Фурье по системам функций, ортогональным в смысле Соболева, и их аппроксимативные свойства

Руководитель Магомед-Касумов Магомедрасул Грозбекович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Дагестанский федеральный исследовательский центр Российской академии наук , Республика Дагестан

Конкурс №89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова полиномы Якоби, полиномы Лагерра, ортогональность в смысле Соболева, ряд Фурье, равномерная сходимость, пространство Соболева, аппроксимативные свойства, линейные средние, формула следа, полугруппы операторов

Код ГРНТИ27.25.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В настоящее время теория систем, ортогональных по Соболеву, продолжает интенсивно развиваться. С одной стороны, это связано с тем, что системы функций, ортогональные относительно соболевских скалярных произведений, и ряды Фурье по ним обладают важными для приложений свойствами, которые отсутствуют у классических ортогональных систем. С другой стороны, теория соболевских ортогональных систем является естественным развитием и расширением теории классических ортогональных систем, и поэтому представляет собой одно из современных фундаментальных направлений науки. Скалярное произведение называется соболевским, если оно включает в себя производные перемножаемых функций. Подробный обзор результатов, полученных для систем полиномов, ортогональных относительно различных соболевских скалярных произведений, можно найти в обзорной работе Marcellan F. и Xu Y. В основном эти результаты связаны с исследованием распределения нулей соболевских полиномов, изучением их алгебраических, асимптотических и дифференциальных свойств. В то же время остаются недостаточно изученными аппроксимативные свойства соболевских систем полиномов. Это связано с тем, что отсутствие классических трёхчленных рекуррентных соотношений для соболевских систем полиномов и, как следствие, отсутствие формулы Кристоффеля -- Дарбу для них затрудняет использование классических методов теории ортогональных полиномов при исследовании вопросов сходимости рядов Фурье по соболевским системам. Для частных случаев скалярного произведения типа Соболева в работах как зарубежных (Ciaurri O., Minguez J., Fejzullahu B., Marcellan F., Moreno-Balcazar J., Quintana Y. Rocha I.A., Diaz-Gonzalez A. и др.), так и отечественных математиков (Шарапудинов И.И., Осиленкер Б.П. и др., включая участников проекта) в этом направлении получены определённые результаты. Целью данного проекта является обобщение и развитие этих результатов, а также получение некоторых результатов в смежных вопросах (полугруппы операторов, порожденные ортогональными полиномами, обобщенная формула следа).

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Получены необходимые и достаточные условия на показатель $\alpha$, при которых имеет место равномерная на $[-1,1]$ сходимость рядов Фурье по соболевской системе полиномов $\mathcal{P}_r^{\alpha,\alpha}$, ассоциированной с ультрасферическими полиномами Якоби, к функциям из пространства Соболева $W^r_{L^1_{\rho(\alpha)}}$, где $\rho(\alpha)=(1-x^2)^\alpha$ --- ультрасферический вес. 2. Исследована задача о приближении функций $f(x)$ из пространства $W^r_{L^2_w}$, $w(x)=e^{-x}$ посредством частичных сумм $S_{r,n+r}(f,x)$ ряда Фурье по системе полиномов, ортогональной по Соболеву и порожденной системой классических полиномов Лагерра. Получены оценки скорости сходимости частичных сумм $S_{r,n+r}(f,x)$ к $f(x)$. 3. Изучены системы многочленов Соболева, мера ортогональности которых содержит непрерывную и дискретную компоненты. Для такого класса многочленов с помощью единого метода доказаны обобщенная формула следа, асимптотика определителя Форсайта и получена оценка порядка аппроксимации.

Публикации

1. Гаджимирзаев Р.М. Оценки скорости сходимости ряда Фурье по полиномам Лагерра — Соболева Сибирский математический журнал, Том 65, номер 4, с. 622–635 (год публикации - 2024)
10.33048/smzh.2024.65.402

2. Магомед-Касумов М.Г. Равномерная сходимость рядов Фурье по системе полиномов, ортогональной в смысле Соболева и ассоциированной с ультрасферическими полиномами Якоби Сибирский математический журнал, Vol. 65, No. 6, pp. 1343–1358 (год публикации - 2024)
10.1134/S0037446624060090